CONCEPTO
En el lenguaje corriente, empleamos el vocablo conjunto para referirnos a una pluralidad o colectividad de objetos que se consideran agrupados formando un todo. Por ejemplo, conjunto de alumnos de una clase; conjunto de letras del abecedario; conjunto de escritores nacionales, etc
Lo esencial de dichas situaciones es la presencia de elementos o miembros del conjunto, los mismos se les denota usualmente por letras minúsculas como a, b, c,..., y los conjuntos se denotan por lo común mediante letras mayúsculas como A, B, C, ....
Otros símbolos de uso frecuente son:
"1 " para expresar "tal que"
" e" pafa expresar que un elemento pertenece a un conjunto.
"< " para expresar "menor que".
" >" para expresar "mayor que".
Para simbolizar que "x pertenece a A" se escribirá x e A, y la negación de ésta se
escribirá x É A
NOTACIÓN DE CONJANTOS NUMÉRICOS
Las notaciones usuales para caracterizar conjuntos numéricos son las siguientes:
Naturales, enteros, racionales, irracionales y reales, que son los números racionales e irracionales
Atr: {1,2,3,... }
Z = {...,-2,-1,0,1,2.3, ... }
a = { ...,-1,?,0,r,r,...\ t' s'3"" )
¡ = {.,.,t5, n,r, ^4j,...\
se denota por R, está formado por la unión de los números racionales e irracionales
DETERMINACION
Un conjunto puede ser determinado de dos maneras: por extensión y por comprensión.
EXTENSIÓN Se dice que un conjunto está determinado por extensión sí y
solo sí se nombran todos los elementos que lo constituyen. En este caso se escriben sus
elementos entre dos llaves.
COMPRENSIÓN Se dice _que un conjunto está determinado por comprensión sí y solo si se da la propiedad o propiedades que caracterizan a todos los elementos del conjunto.
Ejemplo: El conjunto de los números naturales menores a cinco definido por comprensión puede escribirse B : { x e N /x < 5 \
Los números naturales menores a 5 son: 1,2,3 y 4,
por tanto, la determinación por extensión es: B : { 1, 2,3, 4)
CONJUNTOS ESPECIALES
Llamaremos conjuntos especiales a aquellos conjuntos que se caracterizan por el número de elementos, entre ellos tenemos: conjunto unitario, conjunto vacío. conjunto universal,
CONJUNTO UNITARIO
Tiene un sólo elemento.
CONJUNTO VACIO
El conjunto nulo o vacío es aquél conjunto que carece de elementos, y se denota por 0.
Es decir, 0 :{ }
Ejemplo: los conjuntos
A:{xeZlx2:-l\
B:{xeNlx<0}
Son conjuntos vacíos, por no existir valores de x que satisfagan las condiciones de cada conjunto.
CONJANTO UNIVERSAL
El conjunto universal, llamado también universo o referencial, es un conjunto de cuyos
elementos se escogen algunos de ellos para formar otros conjuntos. Se denota por U.
Ejemplo: Si el conjunto universal es U: U,2,3,4,.5,6\
Entonces el conjunto A = {x I -2 <x < 4}
se puede escribir A : { 1,2,3, 4)
Sin embargo, si U: {0, +1 ,+2,+3, +4, +5, *6},
el conjunto B: {x l-2<x<4}
se convierte en B : {-2,-1, 0, 1,2, 3, 4\
Nótese que un cambio en el universo puede cambiar un conjunto
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
Se sabe que el símbolo e (pertenencia) se utiliza para relacionar un elemento con un
conjunto. Asimismo, se puede relacionar dos conjuntos definidos en un mismo universo.
Los cuales se definen a continuación.
INCLUSIÓN
Sean A y B dos conjuntos definidos en un mismo universo. Se dice que A está incluido
en B, o que A es un subconjunto de B, si todos los elementos del conjunto A pertenecen
al conjunto B; se denota por A c B, que se lee "A está incluido en B" o bien "B incluye
a A" o bien "A es subconjunto de B"
IGUALDAD
Se dice que dos conjuntos, A y B, son iguales si A c B y B c A. Es decir, si ambos
conjuntos estan formados por los mismos elementos.
En símbolos: A=B <+A cB nB c A
Ejemplo: Sean los conjuntos:
A={xlx2-3x+2:0}
B:{xeN/x<3}
resolviendo la ecuación *2 - 3x * 2 = 0
se tiene x= l, x:2
por tanto A={1,2}
los números naturales menores a 3 son I y 2
luego B: {1,2 }
En consecuencia, A = B, ya que tienen los mismos elementos.
CONJUNTO DE PARTES
Dado un conjunto A, se entiende por conjunto de partes de A al conjunto formado por
todos los subconjuntos de A, y se denota por P(A).
En símbolos: P (A) : {X lX c A }
Obien: XeP(A)eXcA
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS :
En esta sección se analizarán varias operaciones que combinan dos o más conjuntos
mediante reglas bien definidas para formar nuevos conjuntos. A esta combinación de
conjuntos se le llaman operaciones entre los mismos, y son: unión, intersección,
complementación, diferencia, diferencia simétrica y combinaciones de las mismas
UNIÓN DE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, se llama unión de A y B, al conjunto formado,por todos los
elementos de A o de B. Se denota por A [J B.
En símbolos: AUB : { x/x e Avx e B}
Es decir: x e (AUB)<>x e Avx e B
Su representación en diagrama de Ven n es
donde la parte sombreada es A U B
Ejemplo: Sean los conjuntos A: {3, 5, 6}
B: {1,2,3,7}
C: {2,3,4,5\,
Entonces se cumple que: AUB: {1, 2,3,5,6,7\
AUC: {2,3,4,5,6\
BUC: { 1,2,3,4,5,7
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Dado los conjuntos A y B, la intersección de los conjuntos A y B es el conjunto
formado por los elementos q L le son comunes a los dos conjuntos dados, es decir que
pertenecen a A y a B. Se denota por Af-lB
En símbolo: AllB: lx/x e Anx e B)
O bien: xe (AlB)++x€Anxe B
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. La diferencia de conjuntos A - B es el conjunto
formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B.
A-B={x/xeAnxÉB}
xe(A-B)exeA^ xeB
Luego se verificaque: A-B: A l^'lB'
DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, cualesquiera de un universo U, la diferencia simétrica entre
estos conjuntos es un conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B, pero
no a ambos. También se puede definir como la unión de los conjuntos A-B y B-A. Se
denota por A 1 B.
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En símbolos:A rB:(A-B)u(B-A)
o bien A rB=(Ar-l Bt)u(BnAc)
o bicn: A rB=(AuB)- (AnB)
LEYES DE OPERACIONES CON CONJUNTOS
Para¡ referencia posterior, damos aquí una lista de las leyes más importantes que rigen
l.r\ ()peraciones con conjuntOs
Leyes de idempotencia
Leyes conmutativas
Leyes asociativas
Leyes distributivas
Leyes de absorción
CARDINAL DE UN CONJUNTO
Sea A un conjunto finito definido en un conjunto universal U. Se llama "cardinal de A"
al número de elementos de A y se denota por r1(A).
Ejemplo: Sean los conjuntos A = { a, b, c, d, e}
B: {0, l,2, {0,1}, {1,2},0}
c={}:0
PRODUCTO CARTESIANO
Producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos son todos
los pares ordenados (x, y) tal que la primera componente x pertenece a A y la segunda y
a B. Se denota por AxB.
En símbolos AxB:i(x,y)/xeA n ye B)
O bien (x,y)eAxB +> xeA n yeB
Si B:A,entonces AxA:A2:{(x,y)/x e Any e A}
PARTICIÓN DE UN CONJUNTO
Una partición de un conjunto A no vacío es una colección de los subconjuntos no
vacíos Al, ,A,2, ..., de A tales que:
l) A¡0A¡=0 sii+j (mutuamente disjuntos)
2) ArUAzU....:A (la unión es A)
A los subconjuntos A¡ se les llama celdas o bloques de la partición.
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